Identische Teilchen: Beispiel eines Stolpersteins für die Anschauung Notiz zur Vorlesung Kern- und Elementarteilchenphysik - J. Bleck-Neuhaus) |
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Abstract:
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Kurzfassung: Mehrere identische Teilchen, jedes in einem bestimmten (1-Teilchen-)Zustand, kann man zu einem Mehr-Teilchen-System zusammenfassen. Dann darf man bekanntlich nicht mehr davon sprechen, welches von ihnen sich in welchem der beteiligten 1-Teilchen-Zustände befindet : die Teilchen sind ja vollkommen identisch (und damit ununterscheidbar: physikalisch und logisch). Handelt es sich dabei nun um Fermionen, dann verliert auch noch die Angabe der ursprünglich beteiligten 1-Teilchen-Zustände ihren eindeutigen Sinn: in jedem beliebigen Superpositionszustand von ihnen würde man immer genau 1 Teilchen antreffen.
Beispiel: Hat man die
(orthogonalen) 1-Teilchen-Zustände |1> bzw. |2> mit je 1
Fermion besetzt, und betrachtet das ganze als 2-Teilchensystem, dann kann man
aus jedem beliebig gewählten (normierten) Überlagerungszustand
>>> (möglicher) Stolperstein <<< Da scheint es, als ob die beiden
Fermionen, die
in die Zustände |1> bzw. |2> hineingegeben
worden waren, sich für das Experiment im Verhältnis
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Schrittweise: Vorbemerkung 1: Bei einem 1-Teilchen-System kann man immer genau angeben, in welchem Zustand sich das Teilchen befindet. Im Experiment kann man diesen Zustand identifizieren, denn nur in ihm würde man das Teilchen mit Wahrscheinlichkeit P=1 finden, in jedem anderen Zustand mit P<1 (in einem orthogonalen Zustand gar nicht: P=0 ).
Vorbemerkung 2: Ein 2-Teilchen-System aus unterschiedlichen Teilchen kann man so präparieren, dass für Teilchen 1 feststeht, in welchem 1-Teilchen-Zustand es sich befindet, und für Teilchen 2 unabhängig davon ebenso. (Ein "unverschränkter" oder Produkt-Zustand.)
Beispiel: H-Atom im starken Magnetfeld, wo die (vier) Energie-Eigenzustände so sind,
dass die Spins des Elektrons und
des Protons sich unabhängig voneinander mit
Im Experiment kann man die beiden besetzten 1-Teilchen-Zustände einzeln identifizieren, denn nur in diesen würde man das betreffende Teilchen mit der Wahrscheinlichkeit P1 =1 bzw. P2 = 1 antreffen. In jedem anderen ihrer 1-Teilchen-Zustände würde man die Teilchen mit Wahrscheinlichkeiten P1<1 bzw. P2<1 finden, und zwar statistisch unabhängig voneinander (also auch mal nur eins von beiden oder gar keins). (im Beispiel etwa: wenn nach der Spin-Ausrichtung in x- oder y-Richtung gefragt wird.) Lässt man die innere Wechselwirkung zwischen Elektron- und Proton-Spin wirksam werden, z.B. durch Herunterfahren des Magnetfelds, dann beginnen sich die beiden ursprünglich unverschränkten Zustände mit m1+ m2=0 zu überlagern und erzeugen schließlich die maximal verschränkten Zustände zum Gesamtspin 0 bzw. 1 (mgesamt=0) .
Vorbemerkung 3: Präpariert man nun ein 2-Teilchen-System aus zwei identischen Fermionen in zwei (orthogonalen) 1-Teilchenzuständen |1> und |2> : Beispiel: in z-Richtung polarisiertes He-Ion mit m=+½ fängt ein Elektron mit m= - ½ ein und bildet den He-Grundzustand. Dann ist gut bekannt, dass man natürlich nicht mehr sagen kann, welches der Teilchen sich in welchem der beiden Ausgangszustände befindet: sie sind ja identisch. Aber weiter:
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"Stolperstein": ... Es ist aber auch ganz unmöglich wieder herauszufinden, welches die beiden 1-Teilchenzustände waren, in die denen die 2 Fermionen präpariert worden waren: jedes (orthogonale) Paar von Superpositionszuständen könnte es gewesen sein. Fragt das Experiment nach der Besetzung der beiden Ausgangszustände, würde man genau 1 Teilchen mit Wahrscheinlichkeit P = 1 in jedem von ihnen finden. Aber eben auch in jedem beliebigen anderen Zustand aus dem 2-dimensionalen Zustandsraum, der von ihnen aufgespannt ist.
Messergebnisse für die beiden Teilchen sind nun auch statistisch abhängig: hat man eins gefunden, muss das andere mit P=1 im dazu orthogonalen Zustand sein.
Wollte man in irgendeiner Form anschaulich ausdrücken, wie die zwei in die Zustände |1> und |2> hineingegebenen Elektronen nun ein Elektron im Zustand einer Linearkombination von |1> und |2> gebildet haben (und ein anderes im dazu orthogonalen Zustand) ,
dann müsste man vielleicht von „Elektronenhälften“ reden: jedes Elektron hätte sich im Verhältnis 50:50 aufgeteilt, und die Teile hätten sich über Kreuz zusammengesetzt, so dass wieder „ganze Elektronen“ herausgekommen wären.
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Formale Grundlage Ein Zustand von n Fermionen ist antisymmetrisch gegenüber Teilchenvertauschung. Ist er aus n bestimmten 1-Teilchenzuständen aufgebaut, handelt es sich um die Determinante aus diesen n Stück 1-Teilchen-Zustandsvektoren (Slater-Determinante). Jede Determinante bleibt bei der Bildung von Linearkombinationen ihrer Spalten-Vektoren die gleiche, und ist damit auch gegenüber deren orthogonalen Transformationen invariant.
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Fazit
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(06.06.2005 - J. Bleck-Neuhaus) |